维恩图 - 事件关系的可视化表示与概率计算
维恩图是一种图形化表示事件的工具，可在区域中放置频率或概率，直观展示样本空间（用矩形 \( \mathcal{E} \) 表示）与事件（用闭合曲线表示）的关系。
基本元素：
交集（\( A \cap B \)）：事件"A且B"，即A和B同时发生的重叠区域。
并集（\( A \cup B \)）：事件"A或B（或两者都发生）"，即A、B及交集区域的合并。
补集（\( A' \)）：事件"非A"，即样本空间中不属于A的区域，概率满足 \( P(A') = 1 - P(A) \)。
通过在维恩图中填充频率或概率，可解决"仅A""非B"等复合事件的概率计算问题。
应用场景：
并集概率公式：
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
补集概率公式：
\[P(A') = 1 - P(A)\]
互斥事件：当 \( A \cap B = \emptyset \) 时，\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
In a class of 30 students, 7 are in the orchestra club, 5 are in the band, and 2 are in both the orchestra club and the band. A student is chosen at random from the class.
a) Draw a Venn diagram to represent this information.
b) Find the probability that:
i) the student is not in the band
ii) the student is not in the orchestra club or the band.
a) 绘制维恩图
设"乐队"为集合 \( B \)，"管弦乐俱乐部"为集合 \( C \)。
样本空间 \( \mathcal{E} \) (30人)
乐队 \( B \) (5人) | 管弦乐俱乐部 \( C \) (7人)
交集：2人 | 仅乐队：3人 | 仅管弦乐：5人 | 都不参加：20人
计算过程：
b) 概率计算
i) 不在乐队的概率：
\( P(\text{not } B) = \frac{\text{仅管弦乐人数} + \text{都不参加人数}}{总人数} = \frac{5 + 20}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \)
ii) 既不在管弦乐俱乐部也不在乐队的概率：
\( P(\text{neither}) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \)
A vet surveys 100 of her clients. She finds that:
A client is chosen at random. Find the probability that the client:
a) owns birds only
b) does not own fish
c) does not own birds, cats or fish.
步骤1：绘制维恩图
设"鸟"为 \( B \)，"猫"为 \( C \)，"鱼"为 \( F \)。
样本空间 \( \mathcal{E} \) (100人)
三个圆形分别代表：鸟 \( B \)、猫 \( C \)、鱼 \( F \)
中心交集：7人（三者都养）
步骤2：计算各区域人数
步骤3：计算概率
a) 仅养鸟的概率：
\( P(\text{birds only}) = \frac{6}{100} = 0.06 \)
b) 不养鱼的概率：
\( P(\text{not fish}) = \frac{6 + 8 + 35 + 11}{100} = \frac{60}{100} = 0.60 \)
c) 不养鸟、猫、鱼的概率：
\( P(\text{neither}) = \frac{11}{100} = 0.11 \)
绘制步骤：
绘制步骤：
建议顺序：